Figura 5 - (a) Danneggiamento globale della struttura priva del sistema di controllo I-Pro 1: danneggiamenti agli elementi strutturali e non strutturali; (b) Edificio protetto con I-Pro 1

Figura 6 - Vista di dettaglio del danneggiamento fragile del nodo pilastro-solaio sulla struttura priva di I-Pro 1 a seguito dell'ultima prova di sisma

Il modello numerico in Straus7 del campione privo del sistema di controllo attivo I-PRO 1

Il modello numerico St7 è stato realizzato utilizzando tre tipologie di elementi:

·       elementi di tipo beam per schematizzare i pilastri;

·       elementi di tipo plate per schematizzare i solai;

·       elementi di tipo spring – damper per schematizzare il comportamento dei tamponamenti mediante “diagonali equivalenti”, secondo la teoria di Panagiotakos e Fardis.

MATERIALI: per la caratterizzazione delle proprietà meccaniche dei materiali ci si è basati sui dati forniti dai test effettuati presso il laboratorio EUCENTRE.

Per il calcestruzzo sono stati estratti 2 campioni cubici per ognuno dei quattro getti realizzati (uno per la fondazione e tre per i solai), per un totale di 8 provini, su cui effettuare il test di compressione. Nella tabella seguente si mostrano le proprietà del calcestruzzo derivanti dai test di compressione; tali valori saranno inseriti nel modello St7.

Proprietà del calcestruzzo dedotte dai risultati dei test di compressione

Per le tamponature sono stati utilizzati mattoni forati 25 x 25 x 8 cm con percentuale di foratura del 65%; come materiale di fissaggio tra le facce orizzontali dei mattoni è stato utilizzato cemento calcareo Portland.

Si riportano di seguito le proprietà dedotte dai risultati ottenuti dai test di compressione (2 compressioni diagonali, 2 compressioni verticali con il carico perpendicolare alla direzione dei fori degli elementi e 1 compressione orizzontale con carico parallelo alla direzione dei fori degli elementi).

È importante notare che i risultati di queste prove sono molto variabili. Avendo effettuato, infatti, un numero limitato di prove, le proprietà stimate hanno un’affidabilità relativa.

Proprietà delle tamponature dedotte dai risultati dei test di compressione

PILASTRI: i pilastri, di sezione trasversale 20 cm x 20 cm, sono stati modellati come elementi di tipo beam, disposti su tre livelli con interpiani di riferimento pari a 2.70 m, 2.90 m e 2.97 m, valutati a partire dall’estradosso del basamento rigido di fondazione e considerando i piani medi degli orizzontamenti.

Per esaminare l’evoluzione del danneggiamento e della dissipazione di energia nel tempo a seguito dei terremoti, il comportamento dei pilastri è stato valutato in campo non lineare; ad ogni pilastro è stata assegnata una plasticità diffusa mediante la definizione di un comportamento elasto – plastico del materiale, associando alle sezioni dell’elemento un legame momento – curvatura con un modello isteretico alla Takeda. Si tratta di una curva trilineare, passante per l’origine, in cui l’inclinazione dei due rami è compiutamente definita da tre punti corrispondenti al momento di prima fessurazione, al momento sostanzialmente elastico e al momento ultimo, con le rispettive curvature.

Figura 7 – Esempio del modello isteretico alla Takeda

Nello specifico, ad ogni pilastro è stato assegnato un legame momento – curvatura differente, in funzione del livello di sforzo normale di compressione effettivamente presente nella sezione in combinazione quasi permanente.

Figura 8 – Esempio di “Moment vs Curvature Table” per le colonne del piano terra.

SOLAI: i solai sono stati modellati mediante elementi di tipo plate, di spessore pari a 40 cm per i primi due impalcati e 54 cm per l’ultimo orizzontamento; questo presenta uno spessore maggiore per simulare la massa aggiuntiva dovuta al posizionamento del sistema di protezione attivo I-PRO1 sull’edificio “controllato”, in modo da poter effettuare un successivo confronto a parità di condizioni iniziali.

Lo spessore flessionale (bending thickness) degli elementi plate è stato assunto pari a quello membranale (membrane thickness). Inoltre, per non sottostimare la rigidezza laterale delle colonne, il nodo solaio-pilastro è stato reso rigido mediante l’inserimento di rigid link di lunghezza pari a metà spessore della soletta.

Figura 9 – Inserimento di rigid link per la modellazione del nodo solaio-pilastro

TAMPONAMENTI: le esperienze maturate in seguito agli eventi sismici passati, hanno messo in luce il ruolo chiave dei tamponamenti nella risposta sismica delle strutture in c.a., specie in quelle intelaiate.

Motivo per cui i pannelli di tamponamento non possono essere considerati come dei semplici elementi portati, rappresentandone il contributo nell’analisi solamente in termini di massa, ma come elementi non strutturali che influiscono significativamente in termini di rigidezza sul comportamento globale della struttura.

Per ottenere quindi una risposta molto più aderente a quella reale/sperimentale, si è proceduto alla loro modellazione, mettendo in conto sia il contributo di rigidezza iniziale che la successiva evoluzione del danneggiamento nel tempo durante l’evento sismico. A tal fine è stato perseguito l’approccio di macro-modellazione a puntone equivalente in accordo con la teoria di Panagiotakos e Fardis ¹, che ha consentito di raggiungere un buon compromesso tra la riproduzione accurata degli effetti che la tamponatura esercita sul telaio in c.a. e la riduzione degli oneri computazionali di calcolo, che in genere analisi sofisticate come quelle dinamiche non lineari spesso richiedono.

Il modello proposto, dedotto sperimentalmente da prove dinamiche su telai in c.a., è definito da una curva forza – spostamento “tetralineare”, i cui rami corrispondono ai meccanismi tipici che definiscono il comportamento della tamponatura:

Figura 10 – Legame forza-spostamento proposto da Panagiotakos e Fardis

·       il primo tratto, di rigidezza K₁, simula il tamponamento non danneggiato, ancora in fase elastica, ed è proporzionale alla rigidezza a taglio del pannello. Tale tratto termina in corrispondenza del carico di prima fessurazione (F_y);

·       il secondo tratto, di rigidezza K₂, simula il comportamento a “puntone” della muratura, che si sviluppa in seguito alla fessurazione e al distacco di porzioni del pannello dal telaio. Esso termina al raggiungimento della resistenza ultima del puntone (F_m);

·       il terzo tratto, di rigidezza K₃, è il cosiddetto “ramo di softening”, in cui si tiene conto dell’abbattimento della resistenza e della rigidezza del pannello a causa del danneggiamento, fino ad una resistenza residua (F_r), che dipende dalla duttilità del tamponamento e che determina l’ultimo tratto orizzontale della curva. 

·       Gli spostamenti corrispondenti ai livelli di carico precedentemente definiti (S_y, S_m e S_r) si ottengono dal rapporto tra i rispettivi carichi e rigidezze.

·       La resistenza a trazione della tamponatura è assunta nulla.

I valori dei parametri proposti dagli autori, validi in senso generalizzato, sono stati opportunamente modificati, ovvero calibrati sulla base dello specifico caso sperimentale, al fine di cogliere, con il modello di calcolo elaborato, l’effettivo comportamento sperimentalmente osservato.

La modellazione FEM è stata svolta seguendo tale approccio:

·       ciascun tamponamento è stato modellato mediante una coppia di elementi spring damper, disposti in maniera similare a due aste di controventamento a croce di S. Andrea;

·       in primo luogo, si determina la rigidezza elastica K₁ del tamponamento. Tale rigidezza, proporzionale alla rigidezza a taglio del pannello, viene calibrata sulla base dell’identificazione dinamica svolta sperimentalmente in laboratorio sul fabbricato in vera grandezza. Comparando, infatti, i modi propri di vibrare ottenuti dal modello di calcolo FEM, mediante un’analisi dinamica modale (natural frequency analysis), con le oscillazioni reali del fabbricato, colte sperimentalmente mediante la disposizione di vibrodine e di accelerometri piezoelettrici sulla struttura reale, si tarano le rigidezze assiali (axial spring stiffness) da assegnare alle coppie di spring damper che simulano i tamponamenti ai vari piani.

Figura 11 – Vibrodina utilizzata per l’identificazione dinamica sperimentale; accelerometri piezoelettrici utilizzati per la misurazione delle accelerazioni della struttura in fase di identificazione dinamica

Dal momento che l’analisi dinamica modale è per definizione un’analisi elastica lineare, le non linearità del materiale non possono essere tenute in conto, motivo per cui, nell’assemblaggio della matrice di rigidezza della struttura, entrano in gioco contemporaneamente entrambi i diagonali di ciascun tamponamento, ognuno con la sua rigidezza assiale, contrariamente a quanto avviene nella realtà, in cui il diagonale attivo è solamente quello sollecitato a compressione. Per ovviare a questo inconveniente, si assegna una rigidezza assiale dimezzata a ciascuno spring damper in modo tale che la rigidezza K₁ del tamponamento sia pari al doppio del valore precedentemente calibrato.

·       Ultimata la fase di calibrazione della rigidezza iniziale K₁, si passa alla fase di analisi dinamica non lineare: a ciascuno spring damper viene associata una curva forza-spostamento secondo il modello di P&F descritto in precedenza, e viene definito un modello isteretico che segue la curva forza – spostamento; in particolare la fase di scarico si esplica secondo un andamento parallelo alla rigidezza iniziale K₁ fino al valore della forza residua del tamponamento, proseguendo in secante per l’origine.

Figura 12 – Esempio di curva N-ξ del diagonale sotto carico ciclico

·       La massa dei tamponamenti viene assegnata mediante elementi plate di tipo Load Patch, con ripartizione simmetrica ai vari piani.

Risultati

Si mostrano di seguito la comparazione dei modi di vibrare ottenuti dall’analisi dinamica modale e le risposte nel dominio del tempo in termini di spostamento assoluto ai vari impalcati con quanto ottenuto dai test sperimentali #TERREMOTOISAAC.

CONFRONTO MODI DI VIBRARE:

TIME HISTORY DEGLI SPOSTAMENTI ASSOLUTI DI PIANO:

A titolo di esempio, si riportano le storie temporali degli spostamenti assoluti ai vari impalcati ottenuti dall’analisi dinamica non lineare con accelerogramma di intensità pari al 75% (PGA di 0.24g) del sisma dell’Irpinia.

Come si evince dai grafici precedenti, si ha una buona corrispondenza tra le storie temporali degli spostamenti assoluti di piano ottenuti da modello di calcolo FEM e gli andamenti sperimentali registrati nella campagna di indagine, in particolare in termini di ampiezze massime di oscillazione. Risulta altresì evidente come sia fondamentale la corretta modellazione del danneggiamento; infatti, la risposta elastica è completamente inadatta a derivare il problema, portando a spostamenti sottostimati all’incirca di un ordine di grandezza.

Esempio pratico su caso reale

Sulla base dei principi di modellazione e procedure descritte nel precedente paragrafo, si è passati a trattare casi reali, e quindi di dimensioni nettamente superiori al modello corrispondente al test.

In questo contesto si cita l’esempio sviluppato relativo ad uno dei blocchi strutturali principali di un complesso condominiale in struttura in c.a. degli anni ’60, nella città di Milano.

Successivi sviluppi: il modello numerico in Straus7 del campione dotato del sistema di controllo attivo I-PRO 1

È in fase di sviluppo un cosimulatore che permette l’integrazione delle funzionalità del software Straus7 con il software Matlab.

I due programmi comunicano tramite l’API sviluppata da Straus7, permettendo un continuo scambio di informazioni, variabili e risultati tra essi.

Il cosimulatore ha lo scopo di verificare in real-time che la forza generata da I-PRO1 abbia effetti migliorativi sulla risposta sismica dell’edificio. Per fare questo viene effettuata un’analisi non lineare dinamica della struttura sottoposta ad un sisma ed alla forza di controllo fornita da I-PRO1.

L’integrazione viene effettuata step-by-step e, per ognuno di essi, vengono eseguite le seguenti azioni:

1.     i risultati dell’integrazione dello step precedente vengono impostati come condizioni iniziali per l’integrazione dello step attuale;

2.     partendo dai risultati degli step precedenti estratti da Straus7, tramite l’algoritmo di controllo implementato in Matlab e Simulink viene calcolata la forza che I-PRO1 fornisce allo step attuale;

3.     vengono applicate la forza di controllo e l’accelerazione alla base;

4.     viene effettuata l’integrazione dallo step precedente a quello attuale;

5.     vengono estratti i risultati e resi disponibili a Matlab;

6.     si riparte dal punto 1.

Il ciclo appena descritto può essere sintetizzato mediante la seguente immagine.

Il continuo dialogo tra Straus7 e Matlab permette anche l’aggiornamento istantaneo (istante per istante) di tabelle e parametri che potrebbero modificarsi a causa del danneggiamento della struttura a seguito del sisma, avendo inserito le non linearità dei vari materiali.

Ad analisi ultimata si ottiene una storia di forze di controllo per ogni macchina che è possibile far rigirare insieme all’accelerogramma per validarne i risultati e per visionare l’effettivo miglioramento apportato dalle macchine installate.

Ringraziamenti

Gli autori vogliono ringraziare la società HSH SRL nella persona dell’ing. P. Perin per la gentile concessione della licenza del programma agli elementi finiti Straus7 con cui si sono svolte le analisi numeriche sopra presentate (https://www.hsh.info/).

Bibliografia

[1]          M. N. FARDIS^a & T. B. PANAGIOTAKOS^a (1997) “SEISMIC DESIGN AND RESPONSE OF BARE AND MASONRY-INFILLED REINFORCED CONCRETE BUILDINGS. PART II: INFILLED STRUCTURES”, Journal of Earthquake Engineering, 1:3, 475-503.

^a Department of Civil Engineering, University of Patras , P.O. BOX 1424, Patras, 26500, Greece.